如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
7
，PA=
3
，∠ABC=120°，G為線段PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面BGD；
（2）求直線DG與平面PAC所成的角的正切值．
（1）證明：設(shè)點(diǎn)O為AC、BD的交點(diǎn)，由AB=BC，AD=CD，得BD是線段AC的中垂線，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，
連結(jié)OG，
因?yàn)镚為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)G∥PA，
又因?yàn)镻A?平面BGD，OG?平面BGD，
所以PA∥面BGD；
（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又由（1）知BD⊥AC，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
所以DG與面PAC所成的角是∠DGO．
由（1）知：OG=
1
2
PA=
3
2
，在△ABC中，AC=
AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC
=2
3
，
所以OC=
1
2
AC=
3
，
在直角△OCD中，OD=
CD2-OC2
=2，
在直角△OGD中，tan∠DGO=
OD
OG
=
4
3
3
，
所以直線DG與面PAC所成的角的正切值是
4
3
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AC1=c，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)．
（1）求長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積；
（2）若a=4，b=2，c=
21
，求異面直線A1M與B1N所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC1；
（Ⅱ）求證：AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）若BB1=4，求CB1與平面AA1B1B所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，SO⊥平面ABCD，E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，異面直線SA和BC所成角的大小是60°．
（Ⅰ）求證：直線SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求直線BD與平面SBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：BE⊥CD；
（3）求BD與平面PDC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求PC與平面PBD所成的角；
（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題


四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱SC的中點(diǎn)E在底面內(nèi)的射影恰好是正方形ABCD的中心O，頂點(diǎn)A在截面SBD內(nèi)的射影恰好是△SBD的重心G．
（1）求直線SO與底面ABCD所成角的正切值；
（2）設(shè)AB=a，求此四棱錐過(guò)點(diǎn)C，D，G的截面面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

正方體ABCD-A1B1C1D1中二面角A1-BD-C1的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大��；
（3）求三棱錐D-AMN的體積．

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