Question

20．若函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在x=-1，0，1三點處的函數(shù)值的絕對值均不大于1，當x∈[-1，1]時，求證：|ax+b|≤2．

Answer 1

分析 通過函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在x=-1，0，1三點處的函數(shù)值的絕對值均不大于1可知|f（0）|=|c|≤1、|f（1）|=|a+b+c|≤1、|f（-1）|=|a-b+c|≤1，利用函數(shù)y=ax+b在[-1，1]上單調可知|ax+b|≤max{|a+b|、|-a+b|}，利用絕對值不等式的性質即得結論．

解答 證明：依題意，|f（0）|=|c|≤1，
|f（1）|=|a+b+c|≤1，
|f（-1）|=|a-b+c|≤1，
∵函數(shù)y=ax+b在[-1，1]上單調，
∴|ax+b|≤max{|a+b|，|-a+b|}，
又∵|a+b|≤|a+b+c|+|-c|≤2，
|a-b|≤|a-b+c|+|-c|≤2，
∴|ax+b|≤2．

點評 本題考查不等式的證明，涉及絕對值不等式的性質、函數(shù)的單調性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．