Question

已知函數(shù)f（x）=

a+bx

x

，g（x）=ax．
（Ⅰ）當(dāng)a=b=1時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=b=1代入函數(shù)f（x）=

a+bx

x

，根據(jù)減函數(shù)的定義進(jìn)行證明；
（2）利用增函數(shù)的定義去求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=b=1時，f（x）=

1+x

x

設(shè)x₂＞x₁＞0，則f(x2)-f(x1)=

x1-x2

x1x2

，…（4分）
∵x₂＞x₁＞0，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，∴

x1-x2

x1x2

＜0
即f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；…（8分）
（Ⅱ）f（x）+g（x）=

a

x

+b+ax，
設(shè)1＜x₁＜x₂，
所以

a

x1

+b+ax1-（

a

x2

+b+ax2）=a(x2-x1)

1-x1x2

x1x2

＜0，
又x₂-x₁＞0，

1-x1x2

x1x2

＜0，
所以a＞0------（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．