【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2,求a的取值范圍;
(3)若對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)y=-2.
(2)[1,+∞)
(3)[0,8]
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2-3x+ln x,f′(x)=2x-3+.
因?yàn)閒′(1)=0,f(1)=-2.
所以切線(xiàn)方程是y=-2.
(2)函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定義域是(0,+∞).
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=2ax-(a+2)+= (x>0),
令f′(x)=0,即f′(x)=
==0,
所以x=或x=.
當(dāng)0<≤1,即a≥1時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2;
當(dāng)1<<e時(shí),f(x)在[1,e]上的最小值是f<f(1)=-2,不合題意;
當(dāng)≥e時(shí),f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2,不合題意.
綜上a的取值范圍是[1,+∞).
(3)設(shè)g(x)=f(x)+2x,則g(x)=ax2-ax+ln x,
只要g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增即可.
而g′(x)=2ax-a+=,
當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=>0,此時(shí)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a≠0時(shí),只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,因?yàn)閤∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0,則需要a>0,
對(duì)于函數(shù)y=2ax2-ax+1,過(guò)定點(diǎn)(0,1),對(duì)稱(chēng)軸x=>0,只需Δ=a2-8a≤0,
即0<a≤8.
綜上a的取值范圍是[0,8].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年10月28日,經(jīng)歷了近半個(gè)世紀(jì)風(fēng)雨的南京長(zhǎng)江大橋真“累”了,終于停下來(lái)喘口氣了,之前大橋在改善我們城市的交通狀況方面功不可沒(méi).據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),一般情況下,大橋上的車(chē)流速度v(單位:千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到280輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車(chē)流速度為0;當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)30輛/千米時(shí),車(chē)流速度為50千米/小時(shí).研究表明,當(dāng)30≤x≤280時(shí),車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤280時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí),車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù),單位:輛/小時(shí)) f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),a>0,且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)﹣g(x)=0的一個(gè)解,求t的值;
(2)當(dāng)0<a<1且t=﹣1時(shí),解不等式f(x)≤g(x);
(3)若函數(shù)F(x)=af(x)+tx2﹣2t+1在區(qū)間(﹣1,2]上有零點(diǎn),求t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( )
A.y= 與y=2
B.y= 與y=( )2
C.y=lgx2與y=2lgx
D.y= 與y=x(x≠0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某同學(xué)在生物研究性學(xué)習(xí)中,對(duì)春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究,于是他在4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,求這2天發(fā)芽的種子數(shù)均不小于25的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程;
(3)若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(2)中所得的線(xiàn)性回歸方程是否可靠?
附:回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) 且離心率為 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】?jī)蓤Ax2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三條公切線(xiàn),若a∈R,b∈R,且ab≠0,則 的最小值為( )
A.
B.
C.1
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(﹣4,4)、B(4,4),直線(xiàn)AM與BM相交于點(diǎn)M,且直線(xiàn)AM的斜率與直線(xiàn)BM的斜率之差為﹣2,點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C.
(1)求曲線(xiàn)C 的軌跡方程;
(2)Q為直線(xiàn)y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)Q做曲線(xiàn)C的切線(xiàn),切點(diǎn)分別為D、E,求△QDE的面積S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知以T=4為周期的函數(shù)f(x)= ,其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍為 .
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