Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+3|，且f（x）≥m恒成立．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取最大值時，求函數(shù)g（x）=2x²+$\frac{m}{x}（{x＞0}）$的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+3|的解析式，利用單調(diào)性求得它的最小值，可得m的范圍．
（2）由條件利用基本不等式求得函數(shù)g（x）=2x²+$\frac{m}{x}（{x＞0}）$的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{1-2x+（-2x-3）=-4x-2，x＜-\frac{3}{2}}\\{（1-2x）+（2x+3）=4，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{2x-1+2x+3=4x+2，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故f（x）的最小值為4，
故有m≤4．
（2）當(dāng)m取最大值4時，求函數(shù)g（x）=2x²+$\frac{m}{x}$=2x²+$\frac{4}{x}$=2x²+$\frac{2}{x}$+$\frac{2}{x}$≥3$\root{3}{8}$=6，
當(dāng)且僅當(dāng)2x²=$\frac{2}{x}$時，取等號，故函數(shù)g（x）=2x²+$\frac{m}{x}（{x＞0}）$的最小值為6．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．