Question

6．如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們終邊分別與單位圓相交于點P、Q，已知點P的坐標(biāo)為$（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．
（Ⅰ）求$\frac{{2sinαcosα+2{{cos}^2}α}}{1+tanα}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，求sinβ，cosβ，tanβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，即可求$\frac{{2sinαcosα+2{{cos}^2}α}}{1+tanα}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，則sinβ=sin（α-90°）=-cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=cos（α-90°）=sinα=$\frac{4}{5}$，tanβ=$\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）由題意，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{{2sinαcosα+2{{cos}^2}α}}{1+tanα}$=$\frac{2×\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）+2×（-\frac{3}{5}）^{2}}{1-\frac{4}{3}}$=$\frac{18}{25}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，則sinβ=sin（α-90°）=-cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=cos（α-90°）=sinα=$\frac{4}{5}$，tanβ=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．