Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，分別解不等式和，可得出函數(shù)的減區(qū)間和增區(qū)間；

（2）由函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)，可得知導函數(shù)在定義域上沒有變號的零點，并設，然后對分和兩種情況討論，結(jié)合判斷函數(shù)在區(qū)間是否有變號的零點，從而可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）當時，，函數(shù)的定義域為.

求導得，

令得，令得，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

（2），記，

若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則導函數(shù)在定義域內(nèi)沒有變號零點，即函數(shù)在沒有變號的零點.

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，時，，，一定有正根，

在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減，

在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；

當時，若，

此時，函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，符合題意；

若，此時有，，

則函數(shù)有兩個不相等的正根，函數(shù)有個極值點，不是單調(diào)函數(shù).

綜上所述，若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍是.