Question

設(shè)一個(gè)正整數(shù)n可以表示為n=a₀2^k+a₁2^k-1+…+a_k2⁰（k∈N），其中a₀=1，a_i=0或1（1≤i≤k且i∈N），a_i中為1的總個(gè)數(shù)記為f（n），例如f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=1，則2^f（1）+2^f（2）+2^f（3）+…+2^f（31）=（　　）

• A、121
• B、243
• C、728
• D、729

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,二項(xiàng)式定理

分析：31=1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，則f（31）=5，與二項(xiàng)式定理結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前5項(xiàng)和，計(jì)算可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，31=1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，則f（31）=5．
列表如右：
由表格可得到如下規(guī)律：正整數(shù)k從2ⁿ到2ⁿ⁺¹-1，
則∑2^f（k）=3^n-1．
∴2^f（1）+2^f（2）+2^f（3）+…+2^f（31）=3⁰+3¹+3²+3³+3⁴=121，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于分析題意，透徹理解f（n）的含義，注意轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合二項(xiàng)式定理與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算．