Question

4．若x＞0，y＞0且2x+y=1．求使m≤$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$恒成立的m的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（2x+y）=$\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}+4$，由此利用均值不等式能求出$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值，從而能求出m的取值范圍．

解答 解：∵x＞0，y＞0且2x+y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（2x+y）=$\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}+4$≥2$\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{y}{x}}$+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}$時(shí)，取等號(hào)，
∵m≤$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$恒成立，
∴m的取值范圍是（-∞，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．