Question

設(shè)正數(shù)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₃=14，a₂=a₃-2a₁．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ．利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵正數(shù)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=14，a₂=a₃-2a₁，
∴

a1(1-q3) 1-q =14 a1q=a1q2-2a1 q＞0

，
解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ．
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．