Question

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為

π

4

和

π

6

．過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB：A′B′=

 

．

Answer 1

分析：如圖，連接AB'和A'B，設(shè)AB=a，作出兩個線面角，在直角三角形中用a表示出線段A'B'的長度，即可得出所求的比值．

解答：解：如圖，連接AB'和A'B，設(shè)AB=a，可得AB與平面α所成的角為∠BAB′=

π

4

，
在Rt△BAB′中有AB′=

2

2

a，同理可得AB與平面β所成的角為∠ABA′=

π

6

，
所以A′A=

1

2

a，因此在Rt△AA′B′中A′B′=

( 2 2 a)2-( 1 2 a)2

=

1

2

a，
所以AB：A′B′=a：

1

2

a=2：1．

點評：本題考查線面角及其相關(guān)幾何運算，考查了在二面角與線面角背景下求線段長度的能力，屬于立體幾何知識的綜合運用題，對空間想像能力要求較高．