Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_n+1=-4S_n+1，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得Sn=

1-an+1

4

，從而得到a_n=S_n-S_n-1=

an-an+1

4

，所以

an+1

an

=-3，再由a₁=1，能求出a_n=（-3）^n-1．
（2）由b_n=na_n=n（-3）^n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=-4S_n+1，a₁=1，
∴Sn=

1-an+1

4

，
a_n=S_n-S_n-1=

1-an+1

4

-

1-an

4

=

an-an+1

4

，
∴4a_n=a_n-a_n+1，
∴a_n+1=-3a_n，
∴

an+1

an

=-3，∵a₁=1，
∴a_n=（-3）^n-1．
（2）∵b_n=na_n=n（-3）^n-1，
∴T_n=1•（-3）⁰+2•（-3）+3•（-3）²+…+n（-3）^n-1，①
-3T_n=1•（-3）+2•（-3）²+3•（-3）³+…+n•（-3）ⁿ，②
①-②，得：
4T_n=（-3）⁰+（-3）+（-3）²+…+（-3）^n-1-n•（-3）ⁿ
=

1-(-3)n

1+3

-n•（-3）ⁿ，
=

1

4

-(

1

4

+n)•(-3)n，
∴T_n=

1

16

-(

1

16

+

n

4

)•(-3)n．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．