Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax﹣（1+a2）x2 ， 其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（1）求I的長度（注：區(qū)間（a，β）的長度定義為β﹣α）；
（2）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1﹣k≤a≤1+k時，求I長度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)榉匠蘟x﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有兩個實(shí)根x1=0， ＞0，

故f（x）＞0的解集為{x|x1＜x＜x2}，

因此區(qū)間I=（0， ），區(qū)間長度為 ；

（2）解：設(shè)d（a）= ，則d′（a）= ，

令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，

故當(dāng)1﹣k≤a＜1時，d′（a）＞0，d（a）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a≤1+k時，d′（a）＜0，d（a）單調(diào)遞減，

因此當(dāng)1﹣k≤a≤1+k時，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k處取得，

而 = ＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），

因此當(dāng)a=1﹣k時，d（a）在區(qū)間[1﹣k，1+k]上取得最小值 ，即I長度的最小值為 ．

【解析】（1）解不等式f（x）＞0可得區(qū)間I，由區(qū)間長度定義可得I的長度；（2）由（1）構(gòu)造函數(shù)d（a）= ，利用導(dǎo)數(shù)可判斷d（a）的單調(diào)性，由單調(diào)性可判斷d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k處取得，通過作商比較可得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本求導(dǎo)法則和解一元二次不等式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對應(yīng)方程的根;三求：求對應(yīng)方程的根;四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．