【題目】已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，其中常數(shù)，，設(shè)．

（Ⅰ）用，表示，；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：對(duì)任意的．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析，（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意得：，．因?yàn)?/span>，所以．.對(duì)抽象的求和符號(hào)具體化處理,是解答本題的關(guān)鍵.（Ⅱ）而

，（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題. （1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）問(wèn)知是整數(shù)，結(jié)論成立．（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)結(jié)論成立，即都是整數(shù)，由（Ⅱ）問(wèn)知．即時(shí)，結(jié)論也成立．

解：（Ⅰ）由，．

因?yàn)?/span>，所以．

． 3分

（Ⅱ）由，得

．

即，同理，．

所以．

所以． 8分

（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）問(wèn)知是整數(shù)，結(jié)論成立．

（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)結(jié)論成立，即都是整數(shù)．

由，得．

即．

所以，．

所以．

即．

由都是整數(shù)，且，，所以也是整數(shù)．

即時(shí)，結(jié)論也成立．

由（1）（2）可知，對(duì)于一切，的值都是整數(shù)． 13分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】春節(jié)期間，受煙花爆竹集中燃放影響，我國(guó)多數(shù)城市空氣中濃度快速上升，特別是在大氣擴(kuò)散條件不利的情況下，空氣質(zhì)量在短時(shí)間內(nèi)會(huì)迅速惡化年除夕18時(shí)和初一2時(shí)，國(guó)家環(huán)保部門(mén)對(duì)8個(gè)城市空氣中濃度監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)如表單位：微克立方米．

除夕18時(shí)濃度

初一2時(shí)濃度

北京

75

647

天津

66

400

石家莊

89

375

廊坊

102

399

太原

46

115

上海

16

17

南京

35

44

杭州

131

39

Ⅰ求這8個(gè)城市除夕18時(shí)空氣中濃度的平均值；

Ⅱ環(huán)保部門(mén)發(fā)現(xiàn)：除夕18時(shí)到初一2時(shí)空氣中濃度上升不超過(guò)100的城市都是“禁止燃放煙花爆竹“的城市，濃度上升超過(guò)100的城市都未禁止燃放煙花爆竹從以上8個(gè)城市中隨機(jī)選取3個(gè)城市組織專(zhuān)家進(jìn)行調(diào)研，記選到“禁止燃放煙花爆竹”的城市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

Ⅲ記2017年除夕18時(shí)和初一2時(shí)以上8個(gè)城市空氣中濃度的方差分別為和，比較和的大小關(guān)系只需寫(xiě)出結(jié)果．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：

喜歡統(tǒng)計(jì)課程

不喜歡統(tǒng)計(jì)課程

男生

20

5

女生

10

20

（1）判斷是否有99．5％的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)？

（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本，從中任選2人，求恰有1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率．

臨界值參考:

0．10

0．05

0．25

0．010

0．005

0．001

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為，為拋物線上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，為原點(diǎn)，面積為.

（1）求拋物線方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，，且兩直線斜率之和為，

（i）若為常數(shù)，求證直線過(guò)定點(diǎn)；

（ii）當(dāng)改變時(shí)，求（i）中距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開(kāi)設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生有10人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣額．

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣

沒(méi)興趣

合計(jì)

男

55

女

合計(jì)

（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人對(duì)冰球有興趣的概率．

附表：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.

(1)求證:AB平面SAD；

(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值；

(3)點(diǎn)E,F分別為線段BC,SB上的一點(diǎn),若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從四所高校中選2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在三校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對(duì)四所高校沒(méi)有偏愛(ài)，因此他們每人在四所高校中隨機(jī)選2所.

（ⅰ）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；

（ⅱ）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選校的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知圓與直線相切，點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)N，且動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)P，Q是曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為T，，的斜率分別為，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四邊形ABEF為平行四邊形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.

(1)求證:AE⊥平面ABCD;

(2)求平面ABEF與平面FCD所成銳二面角的余弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案