【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為,為拋物線上在第一象限內(nèi)一點(diǎn),為原點(diǎn),面積為.

1)求拋物線方程;

2)過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于異于點(diǎn)的兩點(diǎn),且兩直線斜率之和為,

i)若為常數(shù),求證直線過(guò)定點(diǎn);

ii)當(dāng)改變時(shí),求(i)中距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1);(2( i )見(jiàn)解析;(ii

【解析】

1)先將代入拋物線的方程,根據(jù)三角形面積,求出,即可得出拋物線方程;

2)(i)先設(shè)直線不存在時(shí)沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn),不成立),聯(lián)立直線與拋物線方程,根據(jù)韋達(dá)定理,得到,表示出,化簡(jiǎn)整理,得到,代入直線方程,即可得出結(jié)果;

ii)由(i)得到定點(diǎn)在直線上,易得,距離最近時(shí)為,進(jìn)而可求出結(jié)果.

1)由題意,將代入拋物線,

所以面積為

,解得

所以拋物線方程為;

2)(i)由題意,設(shè)直線不存在時(shí)沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn),不成立),,

聯(lián)立,所以,

所以

,

從而

帶入得直線

所以過(guò)定點(diǎn)

ii)由(i),令,所以,

即定點(diǎn)在直線上,

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線垂直,

,

所以距離最近時(shí).

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3)若在橢圓C的內(nèi)部,過(guò)N點(diǎn)任意作一條直線,交橢圓CA、B,交M點(diǎn)(異于A、B),設(shè),問(wèn)是否為定值?說(shuō)明理由.

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