Question

定義在R上奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，不等式f（x）+xf′（x）＜0，若a=20.2f(20.2)，b=ln2f(ln2)，c=log2

1

4

f(log2

1

4

)，則a，b，c由小到大關(guān)系式為

 

．

Answer 1

分析：令g（x）=xf（x），根據(jù)f（x）是奇函數(shù)得g（x）是偶函數(shù)，由x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上的單調(diào)性，從而得g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，再由-log₂

1

4

=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．

解答：解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴xf（x）是偶函數(shù)，
設(shè)g（x）=xf（x），
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵-log₂

1

4

=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，
∴g（-log₂

1

4

）＞g（2^0.2）＞g（ln2）；
又g（-log₂

1

4

）=g（log₂

1

4

），
即（log₂

1

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）•f（log₂

1

4

）＞（2^0.2）•f（2^0.2）＞（ln2）•f（ln2），
∴c＞a＞b．
故答案為：c＞a＞b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及不等關(guān)系與不等式．對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件合理的構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大�。畬儆谥袡n題．