Question

已知x，y均為正數(shù)，θ∈（0，

π

4

），且滿足

sinθ

x

=

cosθ

y

，

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

17

4(x2+y2)

，則

x

y

的值為

 

．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：已知第二個等式兩邊乘以x²+y²，得到關(guān)系式記作（*），將第一個等式變形代入（*），整理后求出sinθ與cosθ的值，即可求出所求式子的值．

解答： 解：∵

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

17

4(x2+y2)

，
∴（x²+y²）（

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

）=cos²θ+sin²θ+

x2sin2θ

y2

+

y2cos2θ

x2

=1+

x2sin2θ

y2

+

y2cos2θ

x2

=

17

4

，即

x2sin2θ

y2

+

y2cos2θ

x2

=

13

4

（*），
∵

sinθ

x

=

cosθ

y

，
∴

x

y

=

sinθ

cosθ

，

y

x

=

cosθ

sinθ

，
代入（*）得，

sin4θ

cos2θ

+

cos4θ

sin2θ

=

sin6θ+cos6θ

sin2θcos2θ

=

13

4

，
∵cos⁶θ+sin⁶θ=（cos²θ+sin²θ）（cos⁴θ+sin⁴θ-sin²θcos²θ）=1×[（cos²θ+sin²θ）²-3sin²θcos²θ]=1-3sin²θcos²θ，
∴

1-3sin2θcos2θ

sin2θcos2θ

=

13

4

，
化為sin²θcos²θ=

4

25

，與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立，
解得：sin²θ=

1

5

，cos²θ=

4

5

，
∵θ∈（0，

π

4

），
∴sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，
則

x

y

=

sinθ

cosθ

=

1

2

．
故答案為：

1

2

點評：此題考查了的同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．