Question

（本題滿分14分）
如圖，酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8 cm .上口寬6cm , 水以20 cm³/s的流量倒入杯中，當(dāng)水深為4 cm時(shí)，求水升高的瞬時(shí)變化率.

Answer 1

解法一：設(shè)時(shí)刻t s時(shí)，杯中水的體積為Vcm³,水面半徑為r cm, 水深為h cm.

則                                     2分
   5分
                7分
記水升高的瞬時(shí)變化率為（即當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于）
從而有，當(dāng)h=4時(shí)，解得   12分
答：當(dāng)水深為4 cm時(shí)，水升高的瞬時(shí)變化率為。         14分
解法二：仿解法一，可得，即      4分
    5分
當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于,即無(wú)限趨近于   12分
當(dāng)h=4時(shí),水升高的瞬時(shí)變化率是.                                14分
解法三：水面高為4 cm時(shí)，可求得水面半徑為，設(shè)水面高度增加時(shí)，水的體積增加，從而,(用圓柱近似增加的水體積) ,              8分
故.當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)得                   10分
即                                                     12分
答：當(dāng)水深為4 cm時(shí)，水升高的瞬時(shí)變化率為。                 14分
解法四：設(shè)t 時(shí)刻時(shí)注入杯中的水的高度為 h ,杯中水面為圓形，其圓半徑為r      1分
如圖被子的軸截面為等腰三角形ABC,AO₁O為底邊BC上的高，O₁,O 分別為DE，BC中點(diǎn)，
容易求證∽，那么           2分
時(shí)刻時(shí)杯中水的容積為V=     3分
又因?yàn)閂="20t,                                " 4分
則   即           6分
                            8分
當(dāng)h="4" 時(shí)，設(shè)t=t₁,
由三角形形似的，               9分
那么              10分
      12分
答:當(dāng)水高為4 cm時(shí)，水升高的瞬時(shí)變化率為cm/s                   14分

略