Question

12．在等比數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立，若存在，求出n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)n，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立，分別討論①當(dāng)${a_1}=\frac{3}{2}，q=1$時(shí)，②當(dāng)${a_1}=6，q=-\frac{1}{2}$時(shí)，由S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$解方程即可得到n=5．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
依題意，有${a_1}{q^2}=\frac{3}{2}$，${a_1}+{a_1}q+{a_1}{q^2}=\frac{9}{2}$，
解得 ${a_1}=\frac{3}{2}，q=1$或${a_1}=6，q=-\frac{1}{2}$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\frac{3}{2}$或${a_n}=6•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$；
（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)n，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立，
①當(dāng)${a_1}=\frac{3}{2}，q=1$時(shí)，由S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$
$⇒\frac{3}{2}n-\frac{3}{2}（n+2）=\frac{3}{32}$，無解；                                                
②當(dāng)${a_1}=6，q=-\frac{1}{2}$時(shí)，${S_n}=4[{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}]$，
由S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$
$⇒{（-\frac{1}{2}）^n}=-\frac{1}{32}⇒n=5$，
綜合①②知，存在正整數(shù)n=5，使得S_n-S_n+2=$\frac{3}{32}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查存在性問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．