Question

1．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且A=$\frac{π}{6}$．現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a=2；  ②B=45°；
③c=$\sqrt{3}$b．試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，并以此為依據(jù)求△ABC的面積．（只需寫出一個(gè)選定方案即可）你選擇的條件是①②；（用序號(hào)填寫）由此得到的△ABC的面積為$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件和正弦、余弦定理選擇方案，分別利用正弦、余弦定理求出三角形的邊或角，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）①a=2；  ②B=45°可以確定三角形，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，則b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
又C=180°-A-B=105°，則sinC=sin（45°+60°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{3}+1$；
（2）①a=2，③c=$\sqrt{3}$b可以確定三角形，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
則4=$^{2}+{3b}^{2}-2\sqrt{3}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b=2，
則c=2$\sqrt{3}$，即△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：①②或①③；$\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．