Question

【題目】已知圓的圓心為原點(diǎn)，其半徑與橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的連線線段長(zhǎng)度相等.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的動(dòng)直線（其斜率不為0）交圓于兩點(diǎn)，試探究在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之和為0？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，

【解析】分析：(1)根據(jù)題意，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn).設(shè)，，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由得，利用根與系數(shù)關(guān)系表示

可得，斜率不存在也滿足，說(shuō)明存在符合條件的點(diǎn).

詳解：（1）由題知，橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，

故圓的半徑，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn).

設(shè)，，，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的方程為.

由

得，

所以，.

由，得，

即

.

即.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，顯然滿足.

所以當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，.