【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,且滿足,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

(Ⅰ)求曲線的方程;

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作與軸不平行的直線,交曲線兩點(diǎn),點(diǎn),記,,分別為,的斜率,求證:為定值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見(jiàn)解析

【解析】

解法一:(I)x,y分別表示,結(jié)合,構(gòu)造等式,即可。(II)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,設(shè)出M,N的坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,計(jì)算即可。解法二:(I)設(shè)出P,Q坐標(biāo),結(jié)合,建立方程,即可。(II)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,設(shè)出M,N的坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,計(jì)算,即可。解法三(I)利用向量數(shù)量積關(guān)系,建立方程,計(jì)算結(jié)果,即可。(II)與解法一、二相同。

解法一:

(Ⅰ)設(shè),則,

,,.

,

,

代入整理得

曲線的方程為.

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立,

整理得,

設(shè),

,

,

,

為定值.

解法二:(Ⅰ)設(shè),則,

,

,

.

整理得

曲線的方程為.

(Ⅱ)依題意得,直線的方程為,

聯(lián)立

整理得,

設(shè),,

,

,

為定值.

解法三:(Ⅰ)設(shè),則,

,

,

.

整理得

曲線的方程為.

(Ⅱ)同解法一,解法二.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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喜歡盲擰

不喜歡盲擰

總計(jì)

22

30

12

總計(jì)

50

1

并邀請(qǐng)這30名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表所示:

成功完成時(shí)間(分鐘)

[0,10)

[10,20)

[20,30)

[30,40]

人數(shù)

10

10

5

5

2

1)將表1補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)?

2)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),求這30名男生成功完成盲擰的平均時(shí)間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);

3)現(xiàn)從表2中成功完成時(shí)間在[0,10)內(nèi)的10名男生中任意抽取3人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄,記成功完成時(shí)間在[0,10)內(nèi)的甲、乙、丙3人中被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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