Question

已知函數(shù)f（x）=2x-

x2

2

-aln（x+1），a∈R．
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）的極值點(diǎn)（即函數(shù)取到極值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．

Answer 1

（1）若a=-4，則f（x）=2x-

x2

2

+4ln（x+1），
f′(x)=

-x2+x+6

x+1

=

-(x-3)(x+2)

x+1

∵f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）
∴x∈（-1，3）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（3，+∞）時(shí)，f′（x）＜0
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，3），單調(diào)減區(qū)間為（3，+∞）
（2）∵f′(x)=

-x2+x+2-a

x+1

當(dāng)a≥

9

4

時(shí)，

-x2+x+2-a

x+1

≤0恒成立，故函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）無(wú)極值．
當(dāng)a＜

9

4

時(shí)，對(duì)于方程x²-x+a-2=0，△=9-4a＞0，
設(shè)方程x²-x+a-2=0的兩根x₁，x₂，x1=

1- 9-4a

2

，x2=

1+ 9-4a

2

若0＜a＜

9

4

時(shí)，-1＜x₁＜x₂，由函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）有極小值點(diǎn)x1=

1- 9-4a

2

；有極大值點(diǎn)x2=

1+ 9-4a

2

．
若a≤0時(shí)，x₁≤-1＜x₂，由函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）有極大值點(diǎn)x2=

1+ 9-4a

2

，無(wú)極小值點(diǎn)．