【題目】已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,焦距為2c,若直線y=(x+c)與橢圓交于M點,且滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則橢圓的離心率是 ( )
A. B. -1 C. D.
【答案】B
【解析】
依題意知,直線y=(x+c)經(jīng)過橢圓的左焦點F1(-c,0),且傾斜角為60°,從而知∠MF2F1=30°,設|MF1|=x,利用橢圓的定義即可求得其離心率.
∵橢圓的方程為,作圖如右圖:
∵橢圓的焦距為2c,
∴直線 y=(x+c)經(jīng)過橢圓的左焦點F1(-c,0),又直線y=(x+c)與橢圓交于M點,
∴傾斜角∠MF1F2=60°,又∠MF1F2=2∠MF2F1,
∴∠MF2F1=30°,
∴∠F1MF2=90°.
設|MF1|=x,則 ,|F1F2|=2c=2x,故x=c.
∴ ,
又|MF1|+|MF2|=2a,
∴2a=( +1)c,
∴該橢圓的離心率
故選:B.
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【題目】若、是兩個相交平面,則在下列命題中,真命題的序號為( )
①若直線,則在平面內(nèi)一定不存在與直線平行的直線.
②若直線,則在平面內(nèi)一定存在無數(shù)條直線與直線垂直.
③若直線,則在平面內(nèi)不一定存在與直線垂直的直線.
④若直線,則在平面內(nèi)一定存在與直線垂直的直線.
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
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【題目】已知橢圓的短軸長為2,離心率為,,分別是橢圓的右頂點和下頂點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知是橢圓內(nèi)一點,直線與的斜率之積為,直線分別交橢圓于兩點,記,的面積分別為,.
①若兩點關于軸對稱,求直線的斜率;
②證明:.
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【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點在C上.
(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;
(2)點P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個動點,過點P作直線,使得,與橢圓C都只有一個交點,且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點M,N,證明:弦長為定值.
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【題目】設橢圓,直線經(jīng)過點,直線經(jīng)過點,直線直線,且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.
(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點,且直線軸,求四邊形的面積;
(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0,四邊形為平行四邊形,求證:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說明理由.
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【題目】已知正方體,點, , 分別是線段, 和上的動點,觀察直線與, 與.給出下列結(jié)論:
①對于任意給定的點,存在點,使得;
②對于任意給定的點,存在點,使得;
③對于任意給定的點,存在點,使得;
④對于任意給定的點,存在點,使得.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ).
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點處切線的斜率為4,求實數(shù)的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】臨近開學季,某大學城附近的一款“網(wǎng)紅”書包銷售火爆,其成本是每件15元.經(jīng)多數(shù)商家銷售經(jīng)驗,這款書包在未來1個月(按30天計算)的日銷售量(個)與時間(天)的關系如下表所示:
時間(/天) | 1 | 4 | 7 | 11 | 28 | … |
日銷售量(/個) | 196 | 184 | 172 | 156 | 88 | … |
未來1個月內(nèi),前15天每天的價格(元/個)與時間(天)的函數(shù)關系式為(且為整數(shù)),后15天每天的價格(元/個)與時間(天)的函數(shù)關系式為(且為整數(shù)).
(1)認真分析表格中的數(shù)據(jù),用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)(個)與(天)的關系式;
(2)試預測未來1個月中哪一天的日銷售利潤最大,最大利潤是多少?
(3)在實際銷售的第1周(7天),商家決定每銷售1件商品就捐贈元利潤給該城區(qū)養(yǎng)老院.商家通過銷售記錄發(fā)現(xiàn),這周中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間(天)的增大而增大,求的取值范圍.
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