Question

【題目】給定橢圓C:(),稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點(diǎn)在C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn),使得,與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)M,N,證明:弦長(zhǎng)為定值.

Answer 1

【答案】(1),;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意列出再結(jié)合即可解出，，從而得到橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；

(2) 根據(jù)分類(lèi)討論，當(dāng)有一條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)(不妨假設(shè)無(wú)斜率)，可知其方程為或，這樣可求出；當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率都存在時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)為，與橢圓方程聯(lián)立，由可得，所以線(xiàn)段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，即，故得證．

(1)由條件可得:

解得，

所以橢圓的方程為，

衛(wèi)星圓的方程為

(2)①當(dāng)，中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)和，

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是

或，即為或，

∴

∴線(xiàn)段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，

∴

②當(dāng)，都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)為，

則，

消去y得到，

∴

∴

所以，滿(mǎn)足條件的兩直線(xiàn)，垂直．

∴線(xiàn)段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，∴

綜合①②知：因?yàn)?/span>，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又分別交“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)，且，垂直，所以線(xiàn)段是“衛(wèi)星圓”的直徑，∴為定值．