Question

3．如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE是∠BCD=90°的梯形，CD∥BE，AB⊥底面BCDE，BE=4AB=2BC=2CD，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)．
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求異面直線AC與DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明線面平面，轉(zhuǎn)化為證明面面平行即可．點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，取BE中點(diǎn)G，連接FG，DG，證明平面FGD∥平面ABC；可得FD∥平面ABC．
（2）通過轉(zhuǎn)化尋找AC與DE所成角平面角，連接GC，可得DE∥GC，那么異面直線AC與DE所成角為∠ACG，利用余弦定理求解即可．

解答 解：（1）點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，取BE中點(diǎn)G，連接FG，DG，
∴FG∥AB，
BE=2CD，CD∥BE，
∴BG${\;}_{∥}^{=}$CD，
∵∠BCD=90°
∴BCDG是正方形，DG∥BC．
又∵DG?平面FGD，F(xiàn)G?平面FGD，F(xiàn)G∩DG=G，F(xiàn)G∥AB，DG∥BC
∴平面FGD∥平面ABC；
∵FD?平面FGD
∴FD∥平面ABC；
（2）連接GC，BE=2CD，CD∥BE，
∴DE∥GC，
那么異面直線AC與DE所成角為∠ACG，
設(shè)AB=a，
∵BE=4AB=2BC=2CD，即BE=4a，BC=2a，CD=2a．
AB⊥底面BCDE，BCDG是正方形，
∴AC=$\sqrt{5}a$，GC=$2\sqrt{2}a$，AG=$\sqrt{5}a$．
在△ACG中，cos∠ACG=$\frac{A{C}^{2}+C{G}^{2}-A{G}^{2}}{2AC•CG}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴異面直線AC與DE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平面，轉(zhuǎn)化為證明面面平行以及異面直線所成角的證明及計(jì)算．屬于中檔題．