Question

已知x∈[-

5

2

，0)，f(x)=-ln(-x)+bx，g(x)=

ln(-x)

-x

+

1

2

．
（I）當(dāng)b=-l時(shí)，求證：f（x）＞g（x）；
（II）是否存在實(shí)數(shù)b，使f（x）的最小值是2，若存在求出b的值，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的最小值，g（x）的最大值，可知f（x）的最小值大于g（x）的最大值，故得證；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)行分類討論，求函數(shù)的最小值，利用f（x）的最小值是2，即可得到結(jié)論．

解答：（I）證明：當(dāng)b=-l時(shí)，f（x）=-x-ln（-x），g（x）=

ln(-x)

-x

+

1

2

∵f′(x)=-1-

1

x

=-

x+1

x

，當(dāng)x∈（-

5

2

，-1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）在x∈（-

5

2

，-1）時(shí)，單調(diào)遞減；在x∈（-1，0）時(shí)，單調(diào)遞增
∴f（x）的最小值為f（-1）=1＞0
∵g′(x)=

ln(-x)-1

x2

，當(dāng)x∈[-

5

2

，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）的最大值為g(-

5

2

)=

2

5

ln

5

2

+

1

2

＜

2

5

+

1

2

＜1
即f（x）的最小值大于g（x）的最大值
∴當(dāng)b=-l時(shí)，f（x）＞g（x）；
（II）解：f（x）=-ln（-x）+bx，x∈[-

5

2

，0），f′（x）=b-

1

x

=

bx-1

x

當(dāng)b=0時(shí)，f′（x）=-

1

x

＞0，∴f（x）_min=f（-

5

2

）=-ln

5

2

≠2
當(dāng)b＞0時(shí)，f′（x）=b-

1

x

＞0，，∴f（x）_min=f（-

5

2

）=-

5

2

b-ln

5

2

＜0≠2
當(dāng)b＜0時(shí)，f′（x）=

b(x- 1 b )

x

若

1

b

≤-

5

2

，即-

2

5

≤b＜0時(shí)，f′（x）=b-

1

x

≥0，
∴f（x）_min=f（-

5

2

）=-

5

2

b-ln

5

2

=2
∴b=-

4

5

-

2

5

ln

5

2

∵0＜ln

5

2

＜1
∴-

2

5

＜- 

2

5

ln

5

2

＜0
∴-

6

5

＜-

4

5

-

2

5

ln

5

2

＜-

4

5

，不滿足-

2

5

≤b＜0
故不存在實(shí)數(shù)b，使f（x）的最小值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．