Question

已知：f（x）=2cos²x+sin2x+a．（a∈R，a為常數(shù)）
（1）若x∈R，求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在[-，]上最大值與最小值之和為3，求a的值；
（3）在（2）條件下的f（x）與g（x）關(guān)于x=對(duì)稱，寫出g（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1．（2分）
由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
故 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z．（4分）
（2）x∈[-，]，∴2x+∈[-，]，∴sin（2x+）∈[-，1]）．（7分）
∴f（x）的最大值為3+a，最小值為a，∴3+a+a=3，∴a=0．（9分）
（3）由（2）可得f（x）=2sin（2x+）+1，f（x）與g（x）關(guān)于x=對(duì)稱，
故g（x）=f（-x）=sin[2（-x）+]=sin（π+-2x）=-sin（-2x）=sin（2x-），
即 g（x）=sin（2x-）． （12分）
分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式為2sin（2x+）+a+1，由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍求出2x+的范圍，進(jìn)而得到sin（2x+）的范圍，從而得到f（x）的最大值和最小值，由最大值與最小值之和為3，求得a的值．
（3）由（2）可得f（x）=2sin（2x+）+1，f（x）與g（x）關(guān)于x=對(duì)稱，可得 g（x）=f（-x），利用誘導(dǎo)公式求得g（x）的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．