Question

已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），把使得乘積a₁•a₂•a₃…a_n的整數(shù)的數(shù)n叫做“穿越數(shù)”，并把這些“穿越數(shù)”由小到大排序構(gòu)成的數(shù)列記為{b_n}（m∈N₊）
（1）求區(qū)間（1，2015）內(nèi)的所有“穿越數(shù)”的和；
（2）證明：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

5

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a₁×a₂×a₃×…×a_n=log₂3×log₃4×log₄5×…×log_n+1（n+2）=log₂（n+2），從而n=2^k-2，根據(jù)題意，b_m＜2015，得2^m+1-2＜2015，由此能求出區(qū)間（1，2015）內(nèi)的所有“穿越數(shù)”的和．
（2）

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

+

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

，當(dāng)n＞2時(shí)，由

1

2n+1-2

≤

1

3•2n

，能證明

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

5

6

．

解答： （1）解：由已知得
a₁×a₂×a₃×…×a_n=log₂3×log₃4×log₄5×…×log_n+1（n+2）=log₂（n+2），…（2分）
要a₁×a₂×a₃×…×a_n為整數(shù)，需要log₂（n+2）=k，k∈Z，
∴n=2^k-2，…（3分）
∵n∈N^*，∴k≥2，即b1=22-2=2，b2=23-2=6，…，bm=2m+1-2，
根據(jù)題意，b_m＜2015，得2^m+1-2＜2015，
∴2^m+1＜2017，則m≤9．…（4分）
∴區(qū)間（1，2015）內(nèi)的所有“穿越數(shù)”的和為：
2²+2³+…+2¹⁰-2×9=4（2⁹-1）-18=2026．…（7分）
（2）證明：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

+

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

，…（8分）
當(dāng)n=1時(shí)，

1

b1

=

1

2

＜

5

6

成立，
當(dāng)n=2時(shí)，

1

b1

+

1

b2

=

1

2

+

1

6

=

2

3

＜

5

6

成立，…（10分）
當(dāng)n＞2時(shí)，由

1

2n+1-2

=

1

4•2n-1-2

=

1

3•2n-1+2n-1-2

≤

1

3•2n

，…（12分）
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≤

1

2

+

1

3×2

+

1

3×22

+…+

1

3×2n-1

=

1

2

+

1

3

(1-

1

2n-1

)=

5

6

-

1

2n-1

•

1

3

．…（13分）
又

1

2n-1

＞0，∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

5

6

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．