Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A、B兩點，且|AB|=2

3

，它與y軸的交點為（0，4），又對任意的x都有f（x+1）=f（1-x）．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）當x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可用待定系數(shù)法求參數(shù)，將題設(shè)條件逐個轉(zhuǎn)化，對任意的x都有f（x+1）=f（1-x）轉(zhuǎn)化為對稱軸為x=1，圖象過（0，4）點，圖象與x軸交于A，B兩點，且|AB|=2

3

，可以得到兩根差的絕對值等于3，依次將這三個關(guān)系用參數(shù)表示出來求參數(shù)．
（2）問題轉(zhuǎn)化為只需求出f（x）在[-2，2]上的最小值即可，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可．

解答： 解：（1）∵f（x+1）=f（1-x），∴y=f（x）的對稱軸為x=1，
又f（x）為二次函數(shù)，可設(shè)f（x）=a（x-1）²+k（a≠0）．
又當x=0時，y=4，∴a+k=4，
得f（x）=a（x-1）²+k．令f（x）=0得a（x-1）²+k=ax-2ax+a+k=0，
令其兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂=2，x₁x₂=

a+k

a

，
又|AB|=2

3

，即|x₁-x₂|=2

3

，
即

(x1+x2)2-4x1x2

=

4-4× a+k a

=2

3

，
解得-

a+k

a

=2，與a+k=4聯(lián)立得，a=-2，k=6，
∴f（x）=-2x²+4x+4
（2）由（1）得：-2x²+4x+4≥a在x∈[-2，2]時恒成立，
∴只需求出f（x）在[-2，2]上的最小值即可，
f（x）=-2（x-1）²+6，對稱軸x=1，
函數(shù)f（x）在[-2，1）遞增，在（1，2]遞減，
∴f（x）_最小值=f（-2）=-12，
∴a≤-12．

點評：本題考點是二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題，對本題的轉(zhuǎn)化依據(jù)與轉(zhuǎn)化方式要認真分析，作為以后解題的借鑒．