Question

試問(wèn)能否找到一條斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，且使M，N，且使M，N到點(diǎn)A（0，1）的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)直線l：y=kx+m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只要AP⊥MN即可．由得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．然后利用韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出當(dāng)k∈（-1，0）∪（0，1）時(shí)，存在滿足條件的直線l．
解答：解：設(shè)直線l：y=kx+m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只要AP⊥MN即可
由得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，∴．∵AP⊥MN∴=，
故．
由△=36m²k²-4（1+3k²）（3m²-3）=9（1+3k²）．（1-k²）＞0，
得-1＜k＜1，且k≠0．
故當(dāng)k∈（-1，0）∪（0，1）時(shí)，存在滿足條件的直線l．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運(yùn)用．