Question

試問能否找到一條斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓

x2

3

+y2=1交于兩個不同點M，N，且使M，N，且使M，N到點A（0，1）的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)直線l：y=kx+m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點，欲滿足條件，只要AP⊥MN即可．由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．然后利用韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出當(dāng)k∈（-1，0）∪（0，1）時，存在滿足條件的直線l．

解答：解：設(shè)直線l：y=kx+m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點，欲滿足條件，只要AP⊥MN即可
由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則xp=

x1+x2

2

=-

3mk

1+3k2

，yp=kxp+m=

m

1+3k2

，∴kAP=

3k2-m+1

3mk

．∵AP⊥MN∴

3k2-m+1

3mk

=-

1

k

(k≠0)，
故m=-

3k2+1

2

．
由△=36m²k²-4（1+3k²）（3m²-3）=9（1+3k²）．（1-k²）＞0，
得-1＜k＜1，且k≠0．
故當(dāng)k∈（-1，0）∪（0，1）時，存在滿足條件的直線l．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運用．