Question

（2013•蘭州一模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）證明：-3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

分析：（1）通過對x的范圍分類討論將函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|中的絕對值符號去掉，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可解決；
（2）結(jié)合（1）對x分x≤2，2＜x＜5與x≥5三種情況討論解決即可．

解答：解：（1）f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x≤2 2x-7，2＜x＜5 3，x≥5

．
當(dāng)2＜x＜5時，-3＜2x-7＜3．
所以-3≤f（x）≤3．
（2）由（1）可知，
當(dāng)x≤2時，f（x）≥x²-8x+15的解集為空集；
當(dāng)2＜x＜5時，f（x）≥x²-8x+15的解集為{x|5-

3

≤x＜5}；
當(dāng)x≥5時，f（x）≥x²-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}．
綜上，不等式f（x）≥x²-8x+15的解集為{x|5-

3

≤x≤6}．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x的范圍分類討論去掉函數(shù)式中的絕對值符號是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與分類討論思想，屬于中檔題．