Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f（x）·f（y）= f（x+y）+f（x-y）成立。
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）定義數(shù)列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列。

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=1，y=0，
得f（1）·f（0）=f（1）+f（1），
又f（1）=，則f（0）=2，
令x=0，得f（0）·f（y）=f（y）+f（-y），
則f（y）=f（-y），又f（x）定義在R上，
故f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）a_n+1=2f（n+2）-f（n+1）
=2[f（n+1）·f（1）-f（n）]-f（n+1）
=4f（n+1）-2f（n），
而a_n=2f（n+1）-f（n），
故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列。