精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點，直線l為左準線，直線l與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知
PM
=2
MF
，且|
MN
|=8．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點P作直線與橢圓交于A、B兩點，求△ABF面積的最大值．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的長軸求得橢圓方程中的a，利用橢圓的定義和
PM
=2
MF
求得離心率，進而求得c，則b的值可得，最后求得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程整理后利用韋達定理表示出yA+yB和yAyB，進而根據(jù)S△ABF=S△PBF-S△PAF|表示出△ABF面積利用基本不等式求得面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意
|MN|
=8，得2a=8，∴a=4．
又
PM
=2
MF
，∴e=
1
2

∴c=2，b2=a2-c2=12．
∴橢圓的標準方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
（Ⅱ）設(shè)過P點的直線AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0，yA+yB=
48m
3m2+4
，yAyB=
144
3m2+4
．
而S△ABF=S△PBF-S△PAF=
1
2
|PF|•|yB-yA|=
72
m2-4
3m2+4
．
即S△ABF=
72
m2-4
3(m2-4)+16
=
72
3
m2-4
+
16
m2-4
≤
72
2
3×16
=3
3
．
當(dāng)且僅當(dāng)3
m2-4
=
16
m2-4
，即m=±
2
21
3
時等號成立，且滿足△＞0．
∴△ABF面積的最大值是3
3
．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系．解題最后注意對所求的m的值代入判別式進行驗證．保證答題的嚴密性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點是F拋物線C 1：x2=4y與橢圓C 2：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的公共焦點，且橢圓的離心率為
1
2

（1）求橢圓的方程；
（2）過拋物線上一點P，作拋物線的切線l，切點P在第一象限，如圖，設(shè)切線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，記直線OP，F(xiàn)A，F(xiàn)B的斜率分別為k，k1，k2（其中O為坐標原點），若k 1+k2=
20
3
k，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，一個焦點坐標為F(-
3
，0)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）點N是橢圓的左頂點，點P是橢圓C1上不同于點N的任意一點，連接
NP并延長交橢圓右準線與點T，求
TP
NP
的取值范圍；
（3）設(shè)曲線C2：y=x2-1與y軸的交點為M，過M作兩條互相垂直的直線與曲線C2、橢圓C1相交于點A、D和B、E，（如圖），記△MAB、
△MDE的面積分別是S1，S2，當(dāng)
S1
S2
=
27
64
時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點F2與拋物線y2=8x的焦點重合，過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且
|CD|
|ST|
=2
6
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求
PE
•
PF
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓E：數(shù)學(xué)公式的右焦點F2與拋物線y2=8x的焦點重合，過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且數(shù)學(xué)公式．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求數(shù)學(xué)公式的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省濟寧市育才中學(xué)高三（下）3月段考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓E：的右焦點F2與拋物線y2=8x的焦點重合，過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求的最大值．

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同步練習(xí)冊答案