Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC是正三角形，∠APB=90°，∠PAB=60°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)AB中點為D，AD的中點為O，連接PO，CO，CD．
由已知△PAD為等邊三角形，所以PO⊥AD，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，
所以∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．
不妨設(shè)AB=4，則PD=2，CD=，OD=1，PO=．
在．
所以，在直角△POC中，．
所以直線PC與平面ABC所成角的大小為．
（Ⅱ）過D作DE⊥AP于E，連接CE．
由已知得CD⊥平面PAB，根據(jù)三垂線定理知CE⊥PA，所以∠CED為二面角B-AP-C的平面角．
由（Ⅰ）知，DE=．
在直角△CDE中，．
所以二面角B-AP-C的大小為arctan2．
分析：（Ⅰ）設(shè)AB中點為D，AD的中點為O，連接PO，CO，CD，則可得∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角，在直角△POC中，即可求得直線PC與平面ABC所成角的大��；
（Ⅱ）過D作DE⊥AP于E，連接CE，可得∠CED為二面角B-AP-C的平面角，在直角△CDE中，可求二面角B-AP-C的大�。�
點評：本題考查線面角，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確作出線面角、面面角，屬于中檔題．