【題目】如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點,在五棱錐P﹣ABCDE中,F(xiàn)為棱PE的中點,平面ABF與棱PD,PC分別交于點G,H.
(1)求證:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.
【答案】
(1)證明:在正方形AMDE中,∵B是AM的中點,
∴AB∥DE,又∵AB平面PDE,∴AB∥平面PDE,
∵AB平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,
∴AB∥FG
(2)解:∵PA⊥底面ABCDE,∴PA⊥AB,PA⊥AE,
如圖建立空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0),
B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),
E(0,2,0),F(xiàn)(0,1,1), ,
設平面ABF的法向量為n=(x,y,z),則
即 ,
令z=1,則y=﹣1,∴n=(0,﹣1,1),
設直線BC與平面ABF所成的角為α,則
sinα=|cos |=| |= ,
∴直線BC與平面ABF所成的角為 ,
設H(u,v,w),∵H在棱PC上,∴可設 ,
即(u,v,w﹣2)=λ(2,1,﹣2),∴u=2λ,v=λ,w=2﹣2λ,∵n是平面ABF的法向量,
∴n =0,即(0,﹣1,1)(2λ,λ,2﹣2λ)=0,解得λ= ,∴H( ),
∴PH= =2.
【解析】(1)運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證得;(2)由于PA⊥底面ABCDE,底面AMDE為正方形,建立如圖的空間直角坐標系Axyz,分別求出A,B,C,E,P,F(xiàn),及向量BC的坐標,設平面ABF的法向量為n=(x,y,z),求出一個值,設直線BC與平面ABF所成的角為α,運用sinα=|cos |,求出角α;設H(u,v,w),再設 ,用λ表示H的坐標,再由n =0,求出λ和H的坐標,再運用空間兩點的距離公式求出PH的長.
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點,需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列三個命題中
①“k=1”是“函數(shù)y=cos2kx-sin2kx的最小正周期為π”的充要條件;
②“a=3”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要條件;
③“雙曲線上任意點M到兩條漸近線距離的積為定值”的逆否命題
其中是真命題的為________
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【題目】一中最強大腦社對高中學生的記憶力和判斷力進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù)
參考公式:,.
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程 ,預測記憶力為的同學的判斷力.
(2)若記憶力增加個單位,預測判斷力增加多少個單位?
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【題目】一位數(shù)學老師在黑板上寫了三個向量,,,其中,都是給定的整數(shù).老師問三位學生這三個向量的關(guān)系,甲回答:“與平行,且與垂直”,乙回答:“與平行”,丙回答:“與不垂直也不平行”,最后老師發(fā)現(xiàn)只有一位學生判斷正確,由此猜測,的值不可能為( )
A. , B. , C. , D.
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【題目】某學校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學所需時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中上學所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為,,,,.
(1)求直方圖中x的值;
(2)如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿,若該學校有600名新生,請估計新生中有多少名學生可以申請住宿;
(3)由頻率分布直方圖估計該校新生上學所需時間的平均值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設是兩個不共線的非零向量.
(1)設,,,那么當實數(shù)t為何值時,A,B,C三點共線;
(2)若,且與的夾角為60°,那么實數(shù)x為何值時的值最?最小值為多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱中, 為正方形,是菱形,平面平面.
(1)求證:平面;
(2)求證: ;
(3)設點E,F,H,G分別是的中點,試判斷四點是否共面,并說明理由.
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