Question

13．對(duì)于曲線C：f（x，y）=0，若存在非負(fù)實(shí)數(shù)M和m，使得曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），m≤|OP|≤M恒成立（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱曲線C為有界曲線，且稱M的最小值M₀為曲線C的外確界，m的最大值m₀為曲線C的內(nèi)確界．
（1）寫出曲線x+y=1（0＜x＜4）的外確界M₀與內(nèi)確界m₀；
（2）曲線y²=4x與曲線（x-1）²+y²=4是否為有界曲線？若是，求出其外確界與內(nèi)確界；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積為常數(shù)a（a＞0），求曲線C的外確界與內(nèi)確界．

Answer 1

分析 （1）由外確界與內(nèi)確界的概念，結(jié)合曲線方程，即可求出答案．
（2）由外確界與內(nèi)確界的概念，結(jié)合曲線方程，即可求出答案．
（2）由題意求出曲線C的方程，進(jìn)一步得到x的范圍，把x²+y²轉(zhuǎn)化為含有x的代數(shù)式，分類討論得答案．

解答 解．（1）曲線x+y=1（0＜x＜4）的外確界M₀=5與內(nèi)確界${m_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）對(duì)于曲線y²=4x，設(shè)P（x，y）為曲線上任意一點(diǎn)$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}+4x}=\sqrt{{{（x+2）}^2}-4}（x≥0）$，
∴|OP|∈[0，+∞），
∴曲線y²=4x不是有界曲線．
對(duì)于曲線（x-1）²+y²=4$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}+4-{{（x-1）}^2}}=\sqrt{2x+3}（-1≤x≤3）$，
∴|OP|∈[1，3]，
∴曲線（x-1）²+y²=4是有界曲線，外確界M₀=3與內(nèi)確界m₀=1．
（3）由已知得：$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}×\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=a$$\sqrt{{x^2}-2x+1+{y^2}}×\sqrt{{x^2}+2x+1+{y^2}}=\sqrt{{{（{x^2}+{y^2}+1）}^2}-4{x^2}}=a$，
∴（x²+y²+1）²-4x²=a²，
∴${y^2}=\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-（{x^2}+1）$，
∵y²≥0，
∴$\sqrt{4{x^2}+{a^2}}≥{x^2}+1$，
∴（x²+1）²≤4x²+a²，
∴（x²-1）²≤a²，
∴1-a≤x²≤a+1，
∵$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-1}$
若0＜a＜1，則$\sqrt{1-a}≤\sqrt{\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-1}≤\sqrt{a+1}$，外確界${M_0}=\sqrt{a+1}$，內(nèi)確界${m_0}=\sqrt{1-a}$
若a≥1，0≤x²≤a+1，則$\sqrt{a-1}≤\sqrt{\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-1}≤\sqrt{a+1}$，外確界${M_0}=\sqrt{a+1}$，內(nèi)確界${m_0}=\sqrt{a-1}$
綜合得：外確界${M_0}=\sqrt{a+1}$，內(nèi)確界${m_0}=\sqrt{|a-1|}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的外確界與內(nèi)確界的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，理解題意是關(guān)鍵，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用，屬難題．