Question

18．已知圓C：x²+（y-a）²=4，點(diǎn)A（1，0）．
（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的圓C的切線存在時(shí)，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）設(shè)AM，AN為圓C的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，當(dāng)MN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$時(shí)，求MN所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由直線與圓的位置關(guān)系，得當(dāng)點(diǎn)A在圓外或圓上過(guò)點(diǎn)A的圓C的切線存在．再由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，建立關(guān)于a的不等式，解之即得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性得到|DM|=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．利用垂徑定理算出CD的長(zhǎng)度，在Rt△MCD中，算出cos∠MCD的值，得cos∠MCA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，然后在Rt△MCA中利用解三角形知識(shí)算出AC長(zhǎng)，結(jié)合|OC|=2得出|AM|=1．由題意知MN是以A為圓心、半徑為AM的圓與圓C的公共弦，由此列式即可求出MN所在直線的方程．

解答 解：（1）由題意，A在圓上或圓外，則1²+（0-a）²≥4，∵a$≤-\sqrt{3}$或a$≥\sqrt{3}$；
（2）如圖，設(shè)MN與AC交于D點(diǎn)
由|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，得|DM|=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
又∵|MC|=2，∴由垂徑定理，得|CD|=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴Rt△MCD中，cos∠MCD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，即cos∠MCA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
∵Rt△MCA中，|AC|=$\sqrt{5}$，∴|OC|=2，|AM|=1
MN是以A為圓心、半徑為AM的圓與圓C的公共弦，
∵圓A的方程為：（x-1）²+y²=1，圓C的方程的方程為：x²+（y-2）²=4或x²+（y+2）²=4，
∴MN所在直線方程為（x-1）²+y²-1-x²-（y-2）²+4=0即x-2y=0；
或（x-1）²+y²-1-x²-（y+2）²+4=0即x+2y=0，
綜上所述，直線MN得方程為x-2y=0或x+2y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．