Question

20．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）將直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P是（1）中直線l上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），B是曲線ρ=-2sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t，可得x+y=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為極坐標(biāo)方程；
（2）定點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為A（1，1）．曲線ρ=-2sinθ化為ρ²=-2ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+（y+1）²=1．可得圓心C（0，-1）．連接AC交直線l于點(diǎn)P，交⊙C于點(diǎn)B，可得|PA|+|PB|的最小值=|AC|-r．

解答 解：（1）由直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t，可得x+y=$\sqrt{2}$，化為極坐標(biāo)方程ρcosθ+ρsinθ=$\sqrt{2}$；
（2）定點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為A（1，1）．
曲線ρ=-2sinθ化為ρ²=-2ρsinθ，∴直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=-2y，
配方為x²+（y+1）²=1．
可得圓心C（0，-1）．
連接AC交直線l于點(diǎn)P，交⊙C于點(diǎn)B，
|AC|=$\sqrt{{1}^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴|PA|+|PB|的最小值=|AC|-r=$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交問題、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．