Question

【題目】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)，則a的值為______，若直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于線段，則雙曲線C的方程為________________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

設(shè)點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，按雙曲線的定義，，設(shè)三角形的內(nèi)切圓心在軸上的投影為，分別為內(nèi)切圓與的切點(diǎn)．由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等知，由此得到△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)．即為，根據(jù)條件△為直角三角形，有,則，所以在△中,可求解.

點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義，可得，
若設(shè)三角形的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為，

該點(diǎn)也是內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)．設(shè)分別為內(nèi)切圓與的切點(diǎn)．

考慮到同一點(diǎn)向圓引的兩條切線相等：
則有：

即，
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為 ．
由題意可得，

又直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于線段

設(shè)得中點(diǎn)為，則 ,

所以直線與平行，則 ，

則，根據(jù)雙曲線的定義有：

則在直角三角形△中有：

解得：，所以

由勾股定理有，即

解得： ，所以

所以雙曲線方程為：

故答案為：2 .