Question

12．等比數(shù)列{a_n}（a_n＞0，n∈N^*）中，公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃與a₅的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，當(dāng)n≥2時，比較S_n與b_n的大�。�

Answer 1

分析 （1）由a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，得$（{a}_{3}+{a}_{5}）^{2}$=25，可得a₃+a₅=5，又2是a₃與a₅的等比中項，可得a₃•a₅=4，由于公比q∈（0，1），解得q，即可得出．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=5-n，可得S_n，作差S_n-b_n，對n分類討論即可得出．

解答 解：（1）由a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，得$（{a}_{3}+{a}_{5}）^{2}$=25，
∵a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又2是a₃與a₅的等比中項，∴a₃•a₅=4，
∵公比q∈（0，1），
∴a₃=4，a₅=1，從而$q=\frac{1}{2}$，
∴a_n=2^5-n．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=5-n，
∴S_n=$\frac{9n-{n}^{2}}{2}$，
S_n-b_n=$\frac{9n-{n}^{2}}{2}$-（5-n）=$\frac{-（n-1）（n-10）}{2}$．
∵n≥2，
∴（ⅰ）當(dāng)n＞10時，S_n＜b_n；
（ⅱ）當(dāng)n=10時，S_n=b_n；
（ⅲ）當(dāng)2≤n＜10時，S_n＞b_n．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．