Question

某汽車制造廠有一條價(jià)值為60萬(wàn)元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過(guò)技術(shù)改造來(lái)提高其生產(chǎn)能力，進(jìn)而提高產(chǎn)品的增加值．已知投入x萬(wàn)元用于技術(shù)改造，所獲得的產(chǎn)品的增加值為（60-x）x²萬(wàn)元，并且技改投入比率

x

60-x

∈（0，5]．
（1）求技改投入x的取值范圍；
（2）當(dāng)技改投入多少萬(wàn)元時(shí)，所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大，其最大值為多少萬(wàn)元？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用

x

60-x

∈（0，5]，x＞0，即可確定技改投入x的取值范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．

解答： 解：（1）由題意，

x

60-x

∈（0，5]，x＞0，
∴0＜x≤50，
∴技改投入x的取值范圍是（0，50]；
（2）設(shè)f（x）=（60-x）x²，x∈（0，50]，則f′（x）=-3x（x-40），
0＜x＜40時(shí)，f′（x）＞0；40＜x≤50時(shí)，f′（x）＜0，
∴x=40時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值3200萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型，主要考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．