Question

已知動點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離等于點(diǎn)M到直線y=-1的距離，點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為直線l：x-y-2=0上的點(diǎn)，過點(diǎn)P做曲線C的兩條切線PA，PB，當(dāng)點(diǎn)P（x₀，y₀）為直線l上的定點(diǎn)時，求直線AB的方程；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）動點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離等于點(diǎn)M到直線y=-1的距離，根據(jù)拋物線的定義，可得結(jié)論；
（Ⅱ）求出切線PA，PB的方程，利用切線PA，PB均過P（x₀，y₀），可得A，B的坐標(biāo)是方程x₀x-2y-2y₀=0的兩組解，從而可求直線AB的方程；
（Ⅲ）由拋物線定義可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，表示出|AF|•|BF|，利用配方法可求|AF|•|BF|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵動點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離等于點(diǎn)M到直線y=-1的距離，
∴根據(jù)拋物線的定義，可得拋物線的焦點(diǎn)F（0，1），
∴軌跡C的方程為x²=4y；
（Ⅱ）∵x²=4y，∴y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則切線PA，PB的斜率分別為

1

2

x1，

1

2

x2，
∴切線PA的方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)，即x₁x-2y-2y₁=0，
同理可得切線PB的方程為x₂x-2y-2y₂=0，
∵切線PA，PB均過點(diǎn)P（x₀，y₀），
∴x₁x₀-2y₀-2y₁=0，x₂x₀-2y₀-2y₂=0，
∴A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為方程x₀x-2y₀-2y=0的解，
∴直線AB的方程的方程為x₀x-2y₀-2y=0；
（Ⅲ）由拋物線定義可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
∴|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1
由x₀x-2y₀-2y=0與拋物線的定義聯(lián)立，可得y²+（2y₀-x₀²）y+y₀²=0
∴|AF|•|BF|=y₀²+x₀²-2y₀+1．
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線l上，
∴x₀=y₀+2，
∴|AF|•|BF|=y₀²+x₀²-2y₀+1=2（y₀+

1

2

）²+

9

2

，
∴當(dāng)y₀=-

1

2

時，|AF|•|BF|取得最小值，最小值為

9

2

．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查拋物線的切線方程，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于難題．