Question

函數f（x）是定義在R上的偶函數，且滿足f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=2x．若在區(qū)間[-2，2]上方程ax+a-f（x）=0恰有三個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、[0，1）
• B、[0，2]
• C、[1，+∞）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x+2）=f（x）得到函數的周期是2，利用函數的周期性和奇偶性作出函數f（x）的圖象，由ax+a-f（x）=0等價為f（x）=a（x+1），利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：若在區(qū)間[-2，2]上方程ax+a-f（x）=0恰有三個不相等的實數根，等價為f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數根，
即函數f（x）和g（x）=a（x+1），有三個不相同的交點，
∵f（x+2）=f（x），∴函數的周期是2，
當-1≤x≤0時，0≤-x≤1，此時f（-x）=-2x，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（-x）=-2x=f（x），
即f（x）=-2x，-1≤x≤0，
作出函數f（x）和g（x）的圖象，則A（-1，0），B（1，2），
當g（x）經過B（1，2）時，兩個圖象有2個交點，此時g（1）=2a=2，解得a=1，
要使在區(qū)間[-2，2]上方程ax+a-f（x）=0恰有三個不相等的實數根，
則0≤a＜1，
故選：A．

點評：本題主要考查方程根的公式的應用，利用方程和函數之間的關系，轉化為兩個函數的交點問題，利用數形結合是解決本題的關鍵．