Question

10．已知數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N^*，a_n，S_n，a_n²都成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=a_n（$\frac{1}{3}$）ⁿ，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，且a_n＞0可得2S_n=a_n+a_n²，令n=1，n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1，進(jìn)而可求公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到．

解答 解：（1）∵a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，且a_n＞0，
∴2S_n=a_n+a_n²，①
當(dāng)n=1時(shí)，有2a₁=a₁+a₁²∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1+a_n-1²，②
①-②可得，2a_n=a_n-a_n-1+（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
化簡(jiǎn)得a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
則a_n=1+n-1=n；
（2）b_n=a_n（$\frac{1}{3}$）ⁿ=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
T_n=1•$\frac{1}{3}$+2•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+3•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減，可得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．