Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

4

]，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（3）函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移可使其對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x+

π

3

）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ解不等式可得；
（2）由x∈[0，

π

4

]可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，由三角函數(shù)的性質(zhì)易得值域；
（3）將f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度即可．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ可得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

時(shí)，f（x）_max=1，
當(dāng)2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

時(shí)，f（x）_min=

1

2

，
∴

1

2

≤f（x）≤1．
（3）將f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin2x的圖象，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)即為奇函數(shù)．（答案不唯一）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和圖象變換，屬基礎(chǔ)題．