已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” .
(Ⅰ)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(Ⅱ)在同一函數(shù)圖像上任意取不同兩點(diǎn)A(),B(),線段AB中點(diǎn)為C(),記直線AB的斜率為k.
(1)對于二次函數(shù),求證;
(2)對于“偽二次函數(shù)” ,是否有(1)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論。
(Ⅰ)恒成立,當(dāng)時(shí),(Ⅱ)恒成立,∵,由二次函數(shù)的性質(zhì),(Ⅱ)不可能恒成立,則函數(shù)不可能總為增函數(shù).
(Ⅱ);
(2)“偽二次函數(shù)” 不具有(1)的性質(zhì).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070912200969585750/SYS201307091220548951402758_DA.files/image001.png">,如果為增函數(shù),則(Ⅰ)恒成立,當(dāng)時(shí),(Ⅱ)恒成立,∵,由二次函數(shù)的性質(zhì),(Ⅱ)不可能恒成立,則函數(shù)不可能總為增函數(shù). 4分
(Ⅱ)(1).
由 ∴,則 8分
(2)不妨設(shè),對于“偽二次函數(shù)”:
(Ⅲ)
由(1)中(Ⅰ)(Ⅳ)
的性質(zhì),則,比較(Ⅲ)(Ⅳ)兩式得 ,
即(Ⅴ) 令 (Ⅵ)
設(shè),則
∴在(1, )上遞增, ∴
∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,
∴“偽二次函數(shù)” 不具有(1)的性質(zhì). 13分
考點(diǎn):本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式恒成立問題,不等式的解法。
點(diǎn)評:難題,本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題,通過研究函數(shù)的單調(diào)性,明確了極值情況。(I)中要對a的不同取值情況加以討論,在解不等式取舍過程中易于出錯(cuò)。涉及不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值,通過構(gòu)建a的不等式組,求得a的范圍。理解“偽函數(shù)的概念”的解題的關(guān)鍵之一。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年遼寧省高三第四次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(.(本題滿分12分)
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” (、、),
(I)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(II)在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,記直線的斜率為,
(i)求證:;
(ii)對于“偽二次函數(shù)”,是否有(i)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省高考模擬試題(1) 題型:解答題
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” (、、),
(I)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(II)在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,記直線的斜率為,
(i)求證:;
(ii)對于“偽二次函數(shù)”,是否有(i)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分12分)
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” (、、),
(I)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(II)在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,記直線的斜率為,
(i)求證:;
(ii)對于“偽二次函數(shù)”,是否有(i)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分12分)
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” (、、),
(I)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(II)在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,記直線的斜率為,
(i)求證:;
(ii)對于“偽二次函數(shù)”,是否有(i)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.
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