【題目】定義在R上的可導函數(shù)f(x),其導函數(shù)記為f'(x),滿足f(x)+f(2﹣x)=(x﹣1)2 , 且當x≤1時,恒有f'(x)+2<x.若 ,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,1]
B.
C.[1,+∞)
D.
【答案】D
【解析】解:令g(x)=f(x)+2x﹣ , g′(x)=f′(x)+2﹣x,當x≤1時,恒有f'(x)+2<x.
∴當x≤1時,g(x)為減函數(shù),
而g(2﹣x)=f(2﹣x)+2(2﹣x)﹣ ,
∴f(x)+f(2﹣x)=g(x)﹣2x+ +g(2﹣x)﹣2(2﹣x)+
=g(x)+g(2﹣x)+x2﹣2x﹣2=x2﹣2x+1.
∴g(x)+g(2﹣x)=3.
則g(x)關于(1,3)中心對稱,則g(x)在R上為減函數(shù),
由 ,得f(m)+2m ≥f(1﹣m)+2(1﹣m)﹣ ,
即g(m)≥g(1﹣m),
∴m≤1﹣m,即m .
∴實數(shù)m的取值范圍是(﹣∞, ].
故選:D.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.問,米幾何?”如圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=1.5(單位:升),則輸入k的值為( )
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】記f(n)為最接近 (n∈N*)的整數(shù),如f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=2,f(5)=2,…,若 + + +…+ =4054,則正整數(shù)m的值為( )
A.2016×2017
B.20172
C.2017×2018
D.2018×2019
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將圓x2+y2=1上每一點的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼? ,得曲線C. (Ⅰ)寫出C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設直線l:3x+y+1=0與C的交點為P1、P2 , 以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺ABC﹣A1B1C1和棱錐D﹣AA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=2A1B1=2.
(Ⅰ)求證:平面AB1C⊥平面BB1D;
(Ⅱ)求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣6)2+(y﹣8)2=1和兩點A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若對圓上任意一點P,都有∠APB<90°,則m的取值范圍是( )
A.(9,10)
B.(1,9)
C.(0,9)
D.(9,11)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直. (Ⅰ)試比較20162017與20172016的大小,并說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣k有兩個不同的零點x1 , x2 , 證明:x1x2>e2 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,已知點R的極坐標為(2 , ),曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).
(1)求點R的直角坐標,化曲線C的參數(shù)方程為普通方程;
(2)設P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值,及此時P點的直角坐標.
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