【題目】已知拋物線：，過其焦點作斜率為1的直線交拋物線于，兩點，且線段的中點的縱坐標為4.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若不過原點且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點，且.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)線段的中點的縱坐標為4，直線的斜率為1，利用拋物線的方程，求解，即可得到拋物線的方程；

（2）設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再由得，即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)，兩點的坐標分別為，，

則，，兩式相減得.

即，

又線段的中點的縱坐標為4，直線的斜率為1，∴，∴.

即拋物線的標準方程為.

（2）設(shè)直線：與拋物線：交于點，，

則，

，∴，

∴，，

由得，即，，

直線為，∴過定點.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某市準備在道路EF的一側(cè)修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數(shù)時的圖象，且圖象的最高點為B賽道的中間部分為長千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧DE．

(1)求的值和∠DOE的大��；

(2)若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧DE上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時P點的位置．

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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形且∠DAB=60°，O為AD中點.

（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面POB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，試問在線段PC上是否存在點M，使二面角M-BO-C的大小為30°，如存在，求的值，如不存在，說明理由.

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【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，當時，都有.

（1）若，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若為周期函數(shù)，證明：是常值函數(shù)；

（3）若在上滿足：，，，

①記（），求數(shù)列的通項公式；② 求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有甲、乙二人去看望高中數(shù)學張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是月日，張老師把告訴了甲，把告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇: 2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲說“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”．請問張老師的生日是_______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓和直線： ，橢圓的離心率，坐標原點到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知定點，若直線過點且與橢圓相交于兩點，試判斷是否存在直線，使以為直徑的圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2cos θ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．

(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；

(2)當m＝2時，直線l與曲線C交于A、B兩點，求|AB|的值．

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【題目】如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方

向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這

樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是( )

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值；

（3）不畫圖，說明函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣變化得到.

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